若设其满足特征方程$$\lambda^2+P\lambda+Q=0$$则特征方程的根分别为$\lambda_1$和$\lambda_2$。
二阶常微分方程的通解公式如下：
设二阶常微分方程为
$$
\frac{{d^2y}}{{dx^2}} + P\frac{{dy}}{{dx}} + Qy = 0
$$
其中P和Q都是常数。若设其满足特征方程
$$
\lambda^2 + P\lambda + Q = 0
$$
则特征方程的根分别为$\lambda_1$和$\lambda_2$。
1. 若特征方程有两个不相等的实根$\lambda_1$和$\lambda_2$，则二阶常微分方程的通解为
$$
y = C_1e^{\lambda_1x} + C_2e^{\lambda_2x}
$$
其中$C_1$和$C_2$为任意常数。
2. 若特征方程有一个重实根$\lambda_1$，则二阶常微分方程的通解为
$$
y = (C_1 + C_2x)e^{\lambda_1x}
$$
其中$C_1$和$C_2$为任意常数。
3. 若特征方程有一对共轭复根$\lambda = \alpha \pm \beta i$，其中$\alpha$和$\beta$都是实数，且$\beta \neq 0$，则二阶常微分方程的通解为
$$
y = e^{\alpha x}(C_1\cos(\beta x) + C_2\sin(\beta x))
$$
其中$C_1$和$C_2$为任意常数。
