历年考研数学真题中，复合函数的考查比较常见，它是数学分析中比较基础的概念之一。
历年考研数学真题中，复合函数的考查比较常见，它是数学分析中比较基础的概念之一。以下是对历年考研数学复合函数真题的解析以及备考指南。
一、解析 1. 2019年考研数学一真题 题目：设函数$f(x)$满足$f'(0)=1$，且对任意的$x,y$有$f(x+y)=f(x)f(y)$，则$f(x)=$？
解析：根据题目中的等式$f(x+y)=f(x)f(y)$，我们可以将$x+y$替换成$x$和$y$，即$f(2x)=f(x)f(x)$。然后我们再将$x$替换成$2x$，即$f(4x)=f(2x)f(2x)=f(x)^4$。依此类推，可以得到$f(2^kx)=f(x)^{2^k}$。
当$k\to\infty$时，$2^kx\to0$，所以$f(0)=f(x)^{\infty}$。由于函数$f(x)$可导，所以$f(0)=0$。又因为$f'(0)=1$，所以$f(x)$在$x=0$处的泰勒展开式为$f(x)=x+...$。
将$f(x)$的泰勒展开式代入到等式$f(x+y)=f(x)f(y)$中，并忽略高阶无穷小，得到$x+y=xy+...$。由此得到方程$y=\frac{x}{1-x}$，所以$f(x)=x$。
因此，答案为$f(x)=x$。
2. 2016年考研数学一真题
题目：设$f(x)$可导，且满足$f'(x)=f(ax+b)$，其中$a,b$为常数。若$f(0)=1$，求$f(x)$。
解析：首先观察给出的条件$f'(x)=f(ax+b)$，我们可以发现这个条件与复合函数的概念有关。即$f'(x)$是$x$的一个函数的复合函数。
由此我们可以猜测，$f(x)$可能是一个指数函数。我们设$f(x)=e^{kx}$，其中$k$为常数。
代入条件$f'(x)=f(ax+b)$，得到$k e^{kx}=e^{k(ax+b)}$。由于上式对任意的$x$成立，所以$k=ax+b$。
解得$k=\frac{b}{1-a}$。所以$f(x)=e^{\frac{b x}{1-a}}$，由题意$f(0)=1$，所以$b=0$。得到$f(x)=e^{0}=1$。
因此，答案为$f(x)=1$。
